在大于0小于1的小数里面，零点几几几几一直展开到无穷，比如1/3可以一直展开成0.333333...一直到无穷位，当然有些只能展开到有限，比如1/2 = 0.5后面没了

如果在一个小数的展开中一个7也没有，那么这个数叫做不幸数
0到1的小数中，不幸数的总长度是多少？

如果展开之后，总共有有限个数字是7，那么这个数叫做倒霉数
0到1的小数中，倒霉数的总长度是多少？

[本帖最后由 Jonsoncao 于 2008-10-4 00:28 编辑]

不太明白这个总长度的定义

2﹑8

0.2 0.8肯定是不对的,因为还有是带有7的循环数字呢~

就是长度呗，比如0到1的所有数的总长度是1，0到1的所有无理数的总长度也是1
(a,b)区间的长度是b-a
任何一个一维的抽象集合的总长度是可以覆盖住这个集合的最小区间集合的长度总和

长度不好理解的话,就当成是百分比好了.

这个比喻不错，只是用百分比了之后，理解答案的话就有点困难了

我有个很复杂的答案, 但我估计是我错了
感觉还没找到切入点

几个没睡觉的讨论讨论?

这似乎可能大概是个哲学问题……

操版不厚道，一定是学生问的问题，自己不懂上来问答案。

:D

明天我公布答案，要是我学生水平那么高我就笑惨了，可惜现在的学生都是些胸大无脑的liberal arts母母

答案是很简单的数字:D

操班现在就公布把。。。。等不急了

我想也是

只等答案。
玩游戏都变lu了

都是1?

就是长度呗，比如0到1的所有数的总长度是1，0到1的所有无理数的总长度也是1
(a,b)区间的长度是b-a
任何一个一维的抽象集合的总长度是可以覆盖住这个集合的最小区间集合的长度总和


这样说 都是 1.。。？

数学问题是不会的

S(n) = (10(n)-1)/9+8*(N(0)+N(1)+N(2)+......+N(n-1))
= (10**n-1)/9+8*S(n-1)
以此推类
N(0)=0,N(1)=1,N(2)=18.

n代表小数位数。N(n)代表n位小数情况下有7的小数的个数。S(n)是n位小数情况下有7的小数的个数总和。

S(n)/(n位总数) 这应该就是答案。

现在算出来的答案是 5/9。

也就是说，9份中5份是带7的，4份是不带7的，不知道对不对

[本帖最后由 zhangziwei 于 2008-10-2 14:46 编辑]

俺觉得都是1。。。。。

说的都是有理数吧？

无理数就不算了。

不幸数长度=0.9?

貌似错了

补充思路，抛砖引玉。

将1~0之间分成999....9份，当9的个数--〉无穷大的时候，每个数字就可以看成是连续的了。

把这个当成分母。1/999....9的结果是0.000~01，所以只要考虑分子是否含有7。

那么1~10只有一个7，那么就是那个长度应该是9/10。

但问题是1~100中有9+10，19个7，那么就是81/100。

难道再递推上去么？

我这么认真，操版给我加分

另：貌似第二题的答案应该和第一题一样，把999...9换成1000...0

[本帖最后由 qxch 于 2008-10-2 15:56 编辑]

无理数里面真的有不含7的数么？

0.101001000100001000001……

楼上几位怎么想的。。。。。。
列举的俩个只是部分情况。，肯定不是全集啊。
除了不幸和倒霉，就没有幸运了？
难道不可以含有无数个7个小数？

看见数学就头痛

我就 没看懂题目什么意思。。。。“长度”是说“求和”么？

不是，每个数字一个点，把点连成线量长度

1，0
蒙的
期待正确答案+生动说明~

如果在一个小数的展开中一个7也没有，那么这个数叫做不幸数
0到1的小数中，不幸数的总长度是多少？

不幸数的总长度是0，就是0.9的n次方求极限

[本帖最后由 朝孔雀 于 2008-10-2 21:08 编辑]

lim 1-0.1*(1-0.1^n)/(1-0.1)=8/9
n->∞

[本帖最后由 必杀式球喀臂 于 2008-10-2 21:11 编辑]

谢了，不过我想了想，最早我的想法估计是错的，不过我新的答案结果很奇怪

符号写错了

不明白搞明白这个问题的答案有什么意义。。。就好比我们读的鸟数学

如果展开之后，总共有有限个数字是7，那么这个数叫做倒霉数
0到1的小数中，倒霉数的总长度是多少？

倒霉数的总长度=0.01
无限循环小数的总长度=0.9

事非经过不知难，数到用时方恨少

题目本身就是错误的 0.123456的长度算7还算6? 难道算0.7肯定不对,难道算0.123456? 白痴才这样认为

完全不懂

求答案

可数个单点集的长度都是0，别说一个点了

不幸数0的答案是正确的

第一位没有7的话，那么我们把[0.7, 0.8)这个区间刨去，0到1的长度还剩下9/10，接下来刨去第二位有7的，同时第一位没有7的，又刨去了9/100，一直这么刨啊刨啊……0到1剩下的长度就是1 - \sum^{\infity}_{n = 0} (1/10) \times (9/10)^n = 0

===========================

昨天计算式子打着急写错了，修正下

[本帖最后由 Jonsoncao 于 2008-10-3 23:46 编辑]

不幸0 倒霉0。5？

这回答比问题还难懂。。
难道智商真的可以差距这么大？？

晕 真是这样子啊。。orz
原来我没想错。



但是有个问题 如果我取2边的极限呢？
0 跟1 这样来看的话。。。。可以么。。。

那意思就是倒霉数总长度就是1了？（无限接近0------无限接近1）

操版还是习惯TEX的代码啊

小数展开第一位有7的是0.7xxxx.....，那么所有第一位是7的这些小数就一定在[0.7,0.8)的这个区间里面，不幸数不能包含这个区间，于是从0到1里面把这个区间刨掉了，这个区间长度是0.1，现在整个0到1还剩下了[0,0.7)并上(0.8,1]

接着考虑第二位是7的，同时第一位不是7的，就有0.17xx.., 0.27xxx...,一直到0.97xxx....但是不考虑0.77xxx...因为刚才已经刨掉了第一位有7的，那么现在要考虑的区间是[0.a7,0.a8)，这个a是从0到9的数字除了7，所以这种区间总共有9个，每个长度是0.01，总共长度就是9/100，那么第二次我们刨掉了9/100那么长

依此类推，第三次要刨去的是[0.ab7,0.ab8)，同时a和b都不能是7，那么ab的这个组合就有9*9种可能性，区间长度是千分之一，1/1000，那么第三次刨去的长度就是9*9/1000

第n次要刨去的是前n-1位都没有7的，这个组合的可能性有9^{n-1}种，同时第n次要刨去每个区间的长度是10^n,所以第n次要刨去的区间总共的长度是9^{n-1}/10^n = (1/10) \times (9/10)^{n-1}

这个n是从1开始取，所以刨去可数无穷次之后，总共刨去的区间长度是对这个等比数列求和，然后求极限，写成公式就是
\sum^{\infinity}_{n=1} (1/10) \times (9/10)^{n-1} = (第一项)/(1 - 两项之比) = 1
所以刨去无穷次之后，就刨去了长度为1的区间，在[0,1]里面剩下的数就是不幸数，所以不幸数的长度是0

最后补充一个有趣的现象：虽然0到1里面剩下了一个长度只有0的集合，但是不幸数的集合里面数的数量却和整个实数一样多……

不知道这样的解释满意否

第二题就稍微有点难了，需要一点点小技巧

如果一个数只有有限多个7的话，我们可以把这些7全部变成0到9的其他数，那么这个数就变成不幸数了，然而这个过程等同于把这个数减去一个量，用数学的说法就是平移一个数量，不管是加或者减都是平移

同时如果一个集合把他的所有数都平移一个相同的数的话，这个集合的长度是不变的，那么现在一个小数总共有N位的大前提下，考虑下面两个集合
小数展开有n个7的在里面的集合，记为A_n
小数展开有n个7，同时这个n个7都在同样的位置，记为A_{n_\alpha}
那么这个alpha的数量就是用n个黑球，N-n个白球的组合数，也就是总共把这个N个球组合起来的所有可能性
所以A_n = \cup_{\alpha \in C^N_n} A_{n_\alpha}
这个的意思就是A_n这个集合是所有A_{n_\alpha}的并集，同时那个并的指标是取N中取n组合数那么多个

好，现在再考虑A_{n_\alpha}这个集合，因为这个集合里面的小数的n个7都在同样的位置，那么我们可以把这个集合平移一个单位，而让这个集合里面的所有数都没有7了，就变成了一个不幸数的子集，所以长度自然小等于不幸数的长度
0 <= 长度(A_{n_\alpha}) = 长度(平移后的A_{n_\alpha}) <= 不幸数的长度 = 0
那么这个A_{n_\alpha}的长度也是0
而A_n是有限个0长度集合的并也是0

所有小数展开之后总共有N位，同时有有限个7的数的集合可以写成A_N = \cup^{N}_{n = 1} A_n
也就是所有在n<= N时候的A_n的并集，而A_n长度是0，所以A_N的长度也是0

所有小数展开有有限个7的集合就可以写成 A = \cup^{\infinity}_{N = 1} A_N
A_N所有的并集就构成想要的倒霉数的集合，这个集合由可数多个0长度的集合并起来，所以最后他的长度也是0