https://www.youtube.com/watch?v=S31vJlQu428
YouTube上的数字狂频道分享了一支短片，标题名称为「惊人的总和」，影片中的学者，英国诺丁汉大学副教授Tony Padilla开宗明义的告诉大家答桉是「-1/12」！随后用3个简单的算式及快速的方法证明推演，他说明这个答桉十分合理，而且已被写进弦理论教科书内，另外他也提到，依照物理领域来说，不可能会出现无限大的答案。有中文字幕

这推荐看不到也看不懂。

拉马努金求和公式算出来就是这样的

一点也不神奇，就是个定义问题。这题的另外一个变种s = 1-1+1-1+..... =?
发散无穷级数进行任何运算前都考虑下是否可行，比如上面添加括号就能得到三种答案0，1，1/2，具体如下：要讲严谨你必须证明以下操作全是合法的，比如是否可以添加括号，是否两边可以乘以-1再加上1，否则都是扯谈。


针对以下的格兰迪级数
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
一种求和方式是求它的裂项和：
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若调整括号的位置，会得到不同的结果：
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。
格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：
S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即2S = 1，
可得到S = 1/2。

[本帖最后由 kives 于 2014-11-25 14:54 编辑]

x=0.999999999.....
10x=9.9999999....
10x-x=9x=9.999......-0.9999....=9
所以，9x=9
所以，0.999999=1
我个人觉得这个问题在于，无限数不能直接相减，减了也不是0

0.9(9无限循环)就是等于1啊

等瓶子进来喷死你。

完全两码事，LZ的那个问题在于1-1+1-1.......根本就不收敛，因此无法用一个常数定义代数和。而0.999999.....这个是可以化成收敛级数的。所以无限循环小数0.99999....就是1.

拉马努金和并不是通常意义上的代数和啊……

要证明代数和的话，归纳法一做就知道是发散的了。

只有收敛数列才有普通意义上的代数和，那些求发散数列的求和方法的出来的值都是有特殊意义的，不过借用了“和”这个名称。

喷了，tg掀起了数学热

哪用这么复杂？
直接1/3=0.33333....
1/3x3=0.33333....x3=0.99999....=1

首先…………怎么fq？

懂了

mark

这个“和”也不是随便定义的，是被延展定义的代数和。

数学中同样的延展定义比较直观还
有把平面按照一定方法映射成球面，无穷就成了球面上普通一点了。或者定义复数来计算一些原来难以计算的实函数积分。

在某些性质要求不是非常完美严格的场合，可以用这种延展定义后的定义来绕过一些以前没法计算的地方，而结果在一定场合内不会有问题。

这些证明有的数学家并不认同，因为有种自己证明自己的意思。如果0.33333....x3 = 0.99999...的话，那么就不用证明0.99999... = 1了。
1/3 = 0.3333....
1/3 x 3 = 1
0.3333... x 3 = 1 而不是 0.3333... x 3 = 0.99999...
你压根什么都没证明。

[本帖最后由 jiejieup 于 2014-11-26 02:47 编辑]

其实按照4楼的算法，在S前面加个系数n，就可以得出S=1/n的结果。大家娱乐一下吧，有些数学家是否承认倒是无所谓

为什么所有的数学帖最后都会讨论0.999...=1这个问题

因为这个绕不开，其实就是无限的一个定义

这个小技巧叫Zeta function regularization，数学里面已经用了几百年了
http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function_regularization
如今是现代量子物理中的renormalization不可或缺的技术

1^s + 2^s + 3^s + ...这样的发散和都可以被黎曼Zeta函数，通过在复平面上解析延拓的技巧来进行所谓的“重整化”，得到一个有意义的和

只是这个哥们用一个能让大家看懂的方式给表现了出来，挺牛逼的

数学家出手了！

看来不用祈祷你写科普文了，写和没写一样。

各种民科 键盘数学家 纷纷涌入！！！！！

我艹！没有一层楼的发言能看懂……我实在弱爆了……不想活了！

相比物理等可以稍微用文字来“理解理解”的知识。。。

数学是更容易让大众“虚心”的承认，“哦，这个我真的不懂” 的学科

谈个黑洞这么高级别的物理概念大家可以扯的好像都很懂，反过来这要随便考个高数估计就死一大片了。。。

:D

[本帖最后由 天风颖 于 2014-11-26 12:30 编辑]

自己学习了很久艰深的公式之后，总想把自己所学到的宇宙的优美，对称，精妙，巧合分享给大家，后来发现，这几乎是一个不可能完成的任务；费曼做到了部分给有微积分基础的人写了《讲义》，Carl Sagan和阿西莫夫做到了一些，但是前沿的数学和物理研究结果这方面，做到科普的人基本算是没有。

敲楼上的字我是想说，是我水平有限，没法把这些概念讲的更加明白，不好意思。不过我给出了wiki的链接，而且已经告诉你了蕴藏在这个魔术背后的关键字，如果你有兴趣了解这背后的点滴，可以自行google

引用《致命魔术》里面开始管家给蝙蝠侠女儿说的话：
Every magic trick consists of three
part, or acts...

The first part is called the Pledge, the magician shows you something
ordinary, a deck of cards, or a bird, or a man.

He shows you this object, and pledges to you its utter normality, perhaps he asks you to inspect it, to see that it is indeed real, ...unaltered, normal.

But, of course, it probably isn't...

The second act is called the Turn. The magician takes the ordinary
something...and makes it do something extraordinary.

Now you're looking for the secret, but you won't find it, because, of course, you're not really looking. You don't really want to know. You want to be... fooled.

But you couldn't clap yet. Because making something disappear isn't
enough... you have to bring it back.

That's why every magic trick has a third act. The hardest part, the part we call, The Prestige.

Numberphile的诺丁汉大学两个教授给大家表演了一个魔术，大凡对数字有一些基本概念的人都被震撼了，因为太不符合常理了；有些人想知道这背后到底有什么意义。或许还记得很多年前自己学的微积分的同学们，知道有一个黎曼数列定理（http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem），只有当数列已经被证明是收敛的时候，任意加减分组其部分才是“有意义”的，否则是就“耍流氓”。

第一部分他给你展示1+2+3+...，怎么去确定1-1+1-1+1-...的值，就是Pledge，最后那个数列加减得到S=-1/12可以算是Turn。
然而他们两却避开了最难的部分，Prestige。

我不知道这里怎么去表现Prestige，我只是很敬佩这些把大把时间在科普一线的工作者们。

话说回来，这个魔术背后的关键字就是“黎曼Zeta函数的正则化”和其“奇点在复平面的解析延拓”，用google搜索英文关键字你可以获得非常详尽的解释和例子。

当然我自己也曾经很理想化的想要大家知道数学前沿研究结果的美妙（最近两年放弃了，当然不排除以后会重新学习怎么实现这个愿望），附上几年前发在果壳上编译的文章：
http://www.guokr.com/article/410783/
原标题是“危如险峰，缈如望月”，不知道为什么果壳编辑给去掉了。