超立方体，又作正八胞体(8-cell,Regular octachoron)，立方体柱(Cubic prism)，4-4边形柱(4-4 duoprism)，是一个四维空间里的几何产物
需要说一下“超立方体”的英文应该是Tesseract而不是Hypercube，Hypercube在英文维基百科上是指N维立方体（一维的线段，二维的正方形，三维的立方体……）的总称

投影施莱格尔投影
四维方体不易想象，但可以投射至3维或2维空间。在2维平面的投射，把顶点位

置调整后，可以了解更多。如此获得的图像，不再反映四维方体空间构造，而是反映顶点间的联系。
对于生活在三维空间的人类来说，四维世界是很神秘的概念。正像生活在二维世界里的小人（如果存在）很难想象三维世界一样，我们同样难于想象四维世界。不过也正像我们可以通过研究三维物体在二维物体上的投影来研究想象三维物体一样，我们也可以通过四维物体在三维世界中的立体图形投影来研究四维世界。
图1 所示的是一个立方体在二维世界中的投影。二维小人多多少少可以通过这些投影来想象那个“三 维立方体”的神秘图形。他们可以数出这个

立方体有8个顶点，12条边，6个面。可以看到图1的样子像是一个大正方形套一个小正方形，那我们用一点类比的思维，把一个大立方体“套住”一个小立方体，这就得到一个超正方体的一种三维投影（当然图2又是它的二维投影）
正如图1的投影中，立方体的六个面也要把最外部的正方形也要算进去，超正方体表面的八个立方体也包括“最外部”的那一个
可以知道，超正方体有8个胞（立方体）、24个面（正方形）、32条棱和16个顶点
值得说一下的是，在图2中，投影后一大一小两个立方体的边长比正好是3:1，这个是通过计算得到的。

单旋转


双旋转
超正方体动态图

思维方式
如果四维超正方体不太好想象的话，我们换成球试试吧。三维球嘛，无论从哪个方向投影在二维平面上都只是一个半径等同的圆形，这样我们就很容易想到四维球在三维世界中的投影只不过是一个半径等同的球了。如果还想要讨论得深入一些，不妨试试球穿越问题。比如说一个球穿过一个二维平面，二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点，后来眼看着扩张成圆，又慢慢缩小成点，最后突然消失。如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪，那么以下的情形你定会吃惊不小；在你面前无中生有地出现一个点，扩成球又缩回点，再突然消失。多么神奇！其 实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。
这里讲一种思维方式，当你不能够理解四维的某些描述的时候，试着把自己当作二维人生活在扁平的世界里看三维(你能够理解，但是你的描述是受限的)。
简单描述：1、超立方体无2维距离、角度概念。

2、超立方体中任何一顶点以恒定速度到相邻顶点所用时间相等。球极投影
将一个立方体的各个表面膨胀，一段时间后会得到一个球
同样的方法，将超正方体的表面膨胀，会得到一个“超球”(Hypersphere)
当我们置身于超正方体膨胀成的超球中的时候，我们就会看见右图的这个情景——此时我们置身在“最外部”的立方体（当然是膨胀了的）面上平行投影
上面的两种其实都属于透视投影——实际上立方体的平行投影是绝对不会出现一大一小大正方形
四维超正方体不但可以投影到三维，而且也可以直接投影到二维平面上（是直接，不经过三维），但是由于是投影在二维上，会失真得很厉害所以只能够表现一些点与线之间的连接关系
右图是超正方体的二维线架正投影，ABCD分别是四个轴，注意“相邻”两根轴的夹角都是45度的。16个顶点坐标分别是(±1,±1,±1,±1)（下文有简单推导），然后按照给出的一个一个填上去就是的了（方法说上去有点烦，大家可以用几何画板画画这个投影，其实蛮简单的）。
二维线架正投影
大家一定知道把立方体的六个面展开的样子吧，其中一种展开法如右图。

类比一下，即可得到超正方体的其中一种展开法，如最右图，其中一个立方体被藏在三维展开图里边了。
看上去很奇怪是吧，这八个立方体在我们的世界里无论怎么翻转也不能组成一个超正方体的，它们必须在四维空间里旋转——这个比方就好比二维小人不会明白那六个正方形怎么转才能拼成一个立方体一样的道理。

一个规律 零维的一个点，包含一个零维元素（点）；一维的一条线段，包含一个一维元素（线段），两个零维元素；二维的一个正方形，包含一个二维元素（面），四个一维元素；三维的一个正方体，包含 一个三维元素（三维立体），六个二维元素，十二个一维元素，八个零维元素
对比下列算式：
(x+2)^0=1
(x+2)^1=x+2
(x+2)^2=x^2+4x+4
(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8
可以归纳出：一个n维立方形(n-cube)所包含的k维元素个数等于(x+2)^n展开式的k次项系数。
(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16
可以得出：超正方体有8个立方体（胞），24个面，32条线段，16个点。
这有助于我们印证四维超正方体的构造。

施莱夫利符号
超正方体Tesseract的施莱夫利符号有几个
{4,3,3}(特指它是正多胞体Tesseract)；
{4,3}x{}（代指Cubic prism）；
{4}x{4}(4-4 duoprism，由两个正方形绝对垂直得到)；
{4}x{}x{}（代指Square prismatic prism，就是一个正方形柱——通俗的说还是立方体——的柱形）；
{}x{}x{}x{}（代指Line segmentary prismatic prismatic prism，直线部分棱的棱柱

坐标
超正方体的顶点坐标可以用类比的方式推导：
正方形的坐标：（±1，±1）
正方体的坐标：（±1，±1，±1）
那么类比可以得到四维超正方体的顶点：（±1，±1，±1，±1）

——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
11分钟，讲明白0-10维世界的意义


[本帖最后由 yeskey 于 2012-3-8 15:51 编辑]

有本事画13维的超超超超超超超超超超超正方体我看看:D

身在三维世界，实在是想象不出来四维是啥样子。

BAIDU图片能修复下吗，不然理解不能

三维空间里的生物能理解四维空间啥样子就出奇了。

【比如说一个球穿过一个二维平面，二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点，后来眼看着扩张成圆，又慢慢缩小成点，最后突然消失。如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪，那么以下的情形你定会吃惊不小；在你面前无中生有地出现一个点，扩成球又缩回点，再突然消失。多么神奇！】

逻辑错误！

你描述的这一段，是从3维空间观察2维平面而来的结果，从球接触平面的一个点，到慢慢扩大的一个实心圆，到最大（直径）时开始慢慢缩小的一个实心圆，最后又缩成一个点。

但是在2维平面里的小人，看到的只会是一个点，慢慢变长成为线段，然后线段又缩成一个点。

你看到球体与平面相交的时候，是从高处观察的结果，也就是2维平面之外。而2维平面里的小人，没有高度的概念，只能看见线段。

[本帖最后由 不会跳的蛇 于 2012-3-8 14:28 编辑]

接上：

由此得出0维空间里什么也看不见，因为点无法容纳任何东西，除了点自己；1维空间里能够看到的只有点，也就是0维的东西，而不能看到线，因为没有宽和高的概念；2维空间里只能够看到点和线，也就是0维和1维的东西；但是由此规律如果得出：3维空间里只能够看到点、线还有面，也就是0维、1维还有2维的东西（都比自己所处的空间少一维的规律），这站得住脚吗？

有人说，我能够看到立体的3维物体啊，比如说鼠标，就是立体的啊，如果按照上面的规律，我岂不是应该已经处于4维空间了？

这就要扯到第4维是不是时间轴的问题了。

如果时间轴的深度是0，也就是时间是静止的，那么我们看到的东西只能被理解为2维，因为你站在房间里看到的一切都是静止的，包括你自己，这时候你看到的景象，就好像一张平面的照片一样，狭义上是可以理解为2维的。但是如果时间轴有深度，也就是说时间不是静止的，那你就能在房间里走动，去感知桌子、椅子、整个房间都是有长、宽、高的3维物体，那么按照上述的规律，你应该处于4维空间，第4维恰恰就是时间。

LZ所阐述的理论是不以时间为第4维的理论，说实话我也看不懂超立方体转来转去的图片怎么就成了4维了，理解能力实在有限。但是我上面所阐述的所谓规律，应该是很严谨，禁得起推敲的。

如果我说我们现在已经生活在4维空间里了，那么更高一维的5维是什么样子呢？说实话我也不知道，我只能想象我能够穿过一个黑洞、一个时空夹缝或者一面镜子，去到另外一个有长宽高也有时间（必须有时间，因为我的体积穿越过去需要时间）的世界，也就是穿过一个点、一条线者一个平面到达另外一个4维空间里面去，这就变得十分抽象了。

我学文的。

无法理解......但是这图以前是某个 tger 的头像：

同楼上（蛇）
我一直理解第四维是时间。

我们是四维的。
我个人理解：高纬度对于低一维度的生物来说就是上帝。
我们是4维，对于3维的物体，我们多了时间这个维度，也就是说，3维物体是无法有时间这个概念的。
我们对3维物体可以随我们心意进行破坏重整。而假设3维物体有意识的话，其只能发现自己“瞬间”变成这样或者那样而无能为力。因为其是绝对静止的。

同理，3维对2维：
3维空间的一个智慧生物，能够将2维空间随意的扭曲（把一张纸揉皱）而2维空间的生物是无能为力的。

[本帖最后由 lvcha 于 2012-3-8 12:58 编辑]

如果没有高度，理论上连直线都看不到吧。同时表示与百度无法交流

没注意原图不能外链，已编辑

”如果还想要讨论得深入一些，不妨试试球穿越问题。比如说一个球穿过一个二维平面，二维小人会发现平面上凭空冒出一个慢慢变大的点，后来眼看着扩张成圆，又慢慢缩小成点，最后突然消失。如果这个令二维小人惊讶不已的事实让你并不觉得奇怪，那么以下的情形你定会吃惊不小；在你面前无中生有地出现一个点，扩成球又缩回点，再突然消失。多么神奇！其 实这只不过是四维球穿越三维世界的情形。”

这本身就是错误的，二维世界，看到圆？这不扯呢么。只能看到线段吧？

以自己的知识水平来说，我只相信一维时间和三维空间，更高的维度，是我完全无法想象的。

[本帖最后由 nick` 于 2012-3-8 13:03 编辑]

第四维不是时间

补充一下wiki上的解释和图
几何性质在四维欧几里得空间的标准四维方体是点(±1, ±1, ±1, ±1)的凸包。它包含了点：
四维方体由八个超平面(xi = ±1)包围。两两非平行超平面相交，共形成四维方体的24个正方形面。每条棱有3个立方体和3个正方形相交。在每一顶点有4个立方体、6个正方形和4条棱相交。四维方体共有8个立方体、24个正方形、32条棱和16个顶点。
四维方体的每一顶点与4条棱相邻，所以四维方体的顶点形是正四面体。所以四维方体的施莱夫利符号是{4,3,3}。其对偶多胞体是正十六胞体，施莱夫利符号是{3,3,4}。

[编辑]投射四维方体不易想象，但可以投射至3维或2维空间。在2维平面的投射，把顶点位置调整后，可以了解更多。如此获得的图像，不再反映四维方体空间构造，而是反映顶点间的联系。以下给出一些例子。
第一幅图显示四维方体本质上从结合2个立方体，连结对应顶点得来。第二幅图反映出四维方体每条边等长，也可以看出立方体如何互相连结。第三幅图按著每一顶点由最底一顶点出发沿着棱走的长度排列。
[编辑]附图

超正方体立体投影	超正方体三维投影动画（单旋转）	超正方体三维投影动画（双旋转）
正交投影
超正方体展开图（net） (View animation.)

再接：

从5维世界观察4维时空（我们现在所处的时空），应该能够感知到比我们还要更多一层的东西。现在所处的4维时空，我们能够感知到点（0维）、线（1维）、面（2维）还有体积（3维），但我们感觉不到时间，因为根据上面的规律，处于4维无法感知4维。

低维度通过叠加能够产生高纬度。例如：一连串的点（0维）叠加形成直线（1维）；两条直线（1维）叠加形成平面（2维）；不重叠的两个平面（2维）叠加形成具有长宽高概念的空间（3维）。以此类推，具有长宽高概念的空间叠加，能够形成时空（4维）么？

但是你想想，具有长宽高概念的空间，能叠加么？大箱子套小箱子，出来的还是一个具有长宽高概念的3维立体空间。由此可见，3维的叠加方法是个比较特殊的问题，因为怎么套，还是3维，这就把人的思想禁锢在了只能思考3维，无法想象4维到底是个什么概念。

假设0维=a，1维=b，2维=c，3维=d，时空（4维）=e，未知的5维世界=f，根据上面的理论我们得知，a叠加产生b，但是无法感知b，只能感知a；b叠加产生c，但是无法感知c，智能感知b。以此类推，这里不考虑d叠加方法的问题，我们所在的e只能感知到e，而无法感知更高一层的f。

有神论者认为f是神所处于的维度，而在e层面的人，搞不懂神究竟是个什么样的存在，也是无可厚非的。

小老虎则么还不来！

没有错，三维世界的人看到东西也是三维世界的二维投影，但能通过角度变化判断出物体的三维形状

例：你用一个眼睛看到的面前的一个圆球实际上是看到的二维投影-一个圆形，但你可以绕他走一圈从各个角度都看一遍来判断出来这实际是个球体

二维世界的也是一样，从一个角度看上去，是一条线段，但从各个角度看下去都是这么长的线段就能知道是个圆了

看什么看，二维世界有光吗？

大侠们好好讨论，我阅读理解再看有没有想法。
我觉得不是说三维四维世界存在就存在二维世界，二维世界只是三维世界下的概念，应该不存在这样的极限情况。

[本帖最后由 eastwoodwest 于 2012-3-8 14:35 编辑]

你的空间感也混乱了，跟高度没有关系，因为2维空间根本就没有高度这个概念，只有长度。

我已经把之前的回帖纠正了，不是直线，而是线段。

如果说真有2维小人生活在2维自由空间（即空间内的元素可以自由活动）里的话，一条直线将会把他们全部毁灭。但如果只是线段的话，他们则可以绕过去从而逃过一劫。

我擦……我一个从幼儿园到大学数学从来没及过格的文科生，见此贴后思如泉涌啊！神了！

同意。

但是如果2维空间的小人能够从各个角度观察这条线段的话，那么就还是有时间维度存在啊，如果跟3+1=4的理论一起说的话，那么2维空间+时间维度，2+1=3就变成3维空间了，就全乱了……我的意思是，在空间无法叠加的情况下，时间才算做多一个维度。

我脚得任何一个维度都存在时间，所以时间不应该算做维度

我怎么觉得这结构很简单啊~~~~~~套来套去~~~~~~~~~~~

同意林小英雄，我们把时间这事拿出去，光说说空间维度吧

其实可以很简单地偷换一下概念，点存在（即能够被感知，下同），需要时间，那么能被感知的点就是1维；线存在，需要时间，那么能被感知的线就是2维；面存在，需要时间，那么能被感知的面就是3维；体存在，需要时间，那么能被感知的体就是4维（也就是咱们现在所处的环境）；能够被感知的体（4维），本身就是存在的，能够被感知的，再高一个维度的5维能够完全包含地再感知我们的4维，也就是能够看到甚至是能够随意控制时间，那就是超光速高智慧生命体才能进行观察学习研究的领域了。插一句题外话，如果说我们能够超光速回到过去，比如1990年，那么2012年的我们能够看到1990年的自己，两个你同时存在，1990年的你问2012年的你：“你是怎么来的？”，这时候，相信2012年的你就能够解答关于5维世界的问题了。

我认为很难拿去时间，因为：

点向任意方向定向移动画出的轨迹是线，升了一个维度；线向任意非双端指向定向移动画出的轨迹是面，升了一个维度；面向任意非自体内矢量指向定向移动画出的轨迹是体，升了一个维度；体无论向哪个空间方向移动画出的轨迹还是体。在时间这个维度上，我们已知体只能向着一个方向运动，那就是时间轴的正方向。这里有意思了，在体无论朝空间的哪一个方向移动都没办法升高一个维度的时候，需要一个能够打破常规的移动方向，这就是时间轴的负方向，也就是超光速时间倒流，只有这样才能够升高到体之上的新维度。

注：上面所说的任何一个移动画出轨迹的过程，都需要时间，这就是为什么我们很难把时间这个概念单拿出去只说空间。

强力马克

简单说吧，一维线，脱离了长和宽，怎么感知

我想问一下，一楼的单旋转和双旋转是不是打错了？？

确实是错了，已修改

如果结合宇宙大爆炸理论的话，宇宙从0维（那时候宇宙只是一个点，也就是奇点），爆炸开始的那一刻，产生时间的概念并开始计算时间，宇宙由点（奇点）膨胀为空间，形成时空。自此时间只朝着一个方向（正向）前进，宇宙空间也在无限膨胀着。如果我们有能力使时光倒流回到奇点还没爆炸的那一刻，再接着从时间的历史零点往负方向继续走，那么奇点会不会吞噬自己逆向膨胀？膨胀到哪里去了？膨胀出来的逆时间时空算是几维呢？可以想象一下战争片里的原子弹爆炸场面倒放的情形，当蘑菇云缩回一个点，这时候再往回缩，会缩到哪里去？可能是另外一个时间都是倒着走的世界了吧。

[本帖最后由 不会跳的蛇 于 2012-3-8 16:00 编辑]

很简单啊，假如说你是一个有感知能力的点，你能感觉到自己可以朝着一个固定的方向一直移动，你就感知到了1维的线。

这个过程可以完全脱离宽，但是不能脱离长，因为一维是个单独的向量，肯定要有长度的。

而且，脱离不了时间维度哦，没了时间你就无法感知了。

@sky300600 mark

@易水寒风 mark

一维的不可感知性，文科同学可以查查网络

一路看回帖和百科过来，感觉3维空间叠加应该跟3维空间坍塌联系很紧密，也许是同一个过程，也许是相逆的过程，都是发生在时间轴上的现象。脑子里浮现出了一个可以想象但是无法说服自己相信的景象：面前的空气某处的一个悬空的点像是破了一个洞，哗哗往出流水或者其他东西（凭空掉金币什么的:D ），可能这就是比现在更高一层的维度——空间叠加了。

四维是三维推出来的，不具有肯定性

我同意在自己所在的维度是无法想象更高维度的情况的，所以任何猜测并加以描述都是徒劳的。
想象自己作为一个点怎么能理解无数个自己能够组成线？（0维里没有长度的概念）
线又如何能够想象的出无数个自己能组成面？（二维里没有面积的概念）
三维也同理。
如何实现高维度往低维度的转化？
我的理解是三维空间就是三维空间，无法从三维空间进入二维空间或一维空间。但我们能想像的出来。
如果有四维空间的话，那么四维空间也是无法进入到三维空间内的。
仔细想想可怕极了

mark科普贴

MARK~

@diamondtear mark

mark

学过线性代数然后还在这里讨论基本概念的…

我不知道你们都怎么学的…

马克看看

讨论这么深奥的问题啊

@kagez mark

mark。。。。。。。。。。。