常识竟然是错的，答案是相等。
大概想了几个小时才理解为什么。

有人说大学高数有涉及，我大概大学学了个寂寞。 XPERIA fly ~

已知 a<=b，如果无法找到c，使得a<c<b，则a=b iOS fly ~

不就是3*（1/3)和1比大小嘛

1/3换成小数怎么表示 3个1/3换成小数怎么表示 iOS fly ~

不是说1-0.9999999999999999999999999999999.......

=0.000000000000000000000000...................1吗

lz没学过或者没学明白高数吧

好像是因为没有0.00000......1，所以是相等？

回复6#hackwilliam
确实是，高数死记公式过的，没有数学的脑子。 XPERIA fly ~

回复2#ouyuu
仿佛变成了哲学问题 XPERIA fly ~

这个问题呀，用哲学来回答，还是1大呀 iOS fly ~

2#终结了

这题太简单了啊

1/3=0.333333......
等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然相等。
两边同时乘以3
（1/3）*3=0.99999......
所以1=0.999999......

回复2#ouyuu

这个说法不对吧。还没找到不等于不存在。既然用abc表示数了。那就是不考虑极限之类的问题。显然当n>1时。只要a<b。就有a<a+(b-a)/n<b。

回复12#靓老虎
0.333循环为什么等于1/3，和0.9999为什么等于1是同一个问题。
不能用同一个问题的不同写法去互证吧。 XPERIA fly ~

这个问题好像第二次数学危机后才解决的吧。
也可以换一个说法：在实数数轴上，和数字1相邻的左边的点是否存在？
A：按照常识去理解，应当是存在的，可以表示为0.9999……，这时候这个数和1是不相等的
B：按照现代高数的理论，应当是不存在的。假设若存在一个数x<1，则一定能找出数y=(x+1)/2，让y在x和1之间，所以不存在和1相邻的数x

相等。证明如下
令x=0.999999…
10x=9.999999.....
下面式子减去上面的式子
9x=9
x=1

原贴说的是 已知a<=b 你怎么把前提改成a<b了

回复18#ageg

他的意思其实是a能满足a<=b这个条件。我写的是当a<b时的情况。并不是修改条件。针对的是“无法找到c”这个说法的倒果为因的漏洞。

光说倒果为因可能不好理解。简单说就是要先认为他们相等。才会出现a=a+(b-a)/n=b的情况。认为他们不等。则一定能找到c。就是a+(b-a)n。

原贴没说错啊。当a<b 那肯定能找到c。 你也在证明这点。如果找不到c 那么a=b

回复21#ageg

问题是说“找不到c”时实际上是同时默认b=a了。否则就存在一个c。它的表达式可以是a+(b-a)/n。
这等于是题目问a和b相等不相等。给了个答案说当它们相等时就相等。不相等时就不相等。。

你理解错了。2楼并不是一个证明，是给出一个结论

相减等于零就相等

回复23#ageg

。。。。
那费那个劲干啥。类似于说0.000...001等于0。所以0.9无限循环等于1。
只是引入了一个又需要证明的东西来说自己的结论。

因为这是极限定义的一个推论啊。

找不到c和默认a=b 是两回事，找不到c 推出 a=b是需要极限定义来证明的

回复26#ageg

我的意思就是他那个表述是没有意义的。因为如果把具体的数代进去。就需要额外的证明。要用到极限知识。
而不代入具体的数。则有c时ab就不等。没c时ab就相等。这就成了废话了。

回复27#ageg
确实是一个定义问题。
在实数轴是找不到c的，但是非实数轴找得到。
证明相等的数学公式都是基于实数，但人的常识又趋向于非实数。 XPERIA fly ~

没c时ab就相等，这里没c的含义是不存在任何形式的c，你只是给了c的其中一种形式 a+(b-a)/n 不存在，所以得到了a=b的推论。但是原贴的前提是不存在任何c，这是不一样的

我晕，我以为是啥题目。。。

任何一个学过高数的，都知道答案。数列0.9、0.99、0.999，。。。的极限。

回复31#z16166
所以高数是用什么证明的还记得吗？我认真的忘记了。 XPERIA fly ~

回复30#ageg

。。。说得最简单一点。就是“不存在任何c”是需要额外证明的。这个额外的证明其实跟证明0.9的无限循环和1一样大是一回事。所以不能当结论或前提用在表述里。否则就变成了跟“因为ab相等。所以ab相等”等价的表达。
我只给一个形式是因为我讨论的是不相等的情况。只要存在即可。所以只需要给一个形式。

当然是一回事。极限的定义 可以等价于二楼的结论，也可以等价于 0.999=1 三者都是等价的。

这题不是初中生的常识吗
就算不知道为什么 也起码知道答案是什么 呵

回复34#ageg

所以我的意思是那个表达的意思就是“ab就是相等”。
这样又a<=b又存不存在c。都是累赘。说那么复杂却没有意义。

这个不是需要数学公理化证明嘛？这个问题实质是要解释数轴上的点的性质，如何定义实数，有理数，无理数，整数，分数这些如何比较大小，好像李永乐讲过这个问题

当然有意义。你说二楼的结论没意义的话，那就是说极限的定义没意义，因为是等价的

回复35#bill314159
问题是我的常识无法理解为什么（今天终于理解了
据说小学奥数题就有结论。 XPERIA fly ~

回复38#ageg

我跟你说个绕口令。你说的意义跟我说的意义不是一个意义。你说的意义是客观存在的意义。一加一等于二。我说的意义是对于楼主这个帖子来说的意义。说它没意义是因为它只是把问题重复了一遍。比大小改成了找c。
无论如何。你说有意义就有意义吧。

回复37#wflove
对没错，看了李永乐的解说了，挺好懂的，用到了戴德金切割证明法。
我的理解是，找不到它们之间的实数。形象来说也就是戴德金的切割刀在两个数字之间砍不下去，那两个数字只能是一体的，是相等的。 XPERIA fly ~

那这个意义就主观了。如果用极限定义回复lz，算不算有意义，我觉得算有意义。二楼的结论是极限定义的一个等价的结论，而且挺经典的，离lz的问题又近了一步，你的意思大概是说太近了，所以没有意义。

数列极限。正经的搞法是先求出数列第n项的表达式，然后对表达式求极限。

0.9，0.99，0.999，... 这个无穷数列的递推公式是：
A[1] = 0.9
A[n + 1] = A[n] + 9 * (10^(-(n+1)))，对于n >= 1。^表示幂运算。
根据递推公式可以求出通项公式，这以前好像是高中的内容。

实际上这个通项公式简单，是可以直接写出来的（其中用到等比数列求和）：
A[n] = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
= 9 * (0.1^1 + 0.1^2 + ... + 0.1^n)
= 9 * 0.1 * (1 - 0.1^n) / (1 - 0.1)
= 1 - 0.1^n （这个表达其实也很直观的，就是用1减去一个很小的尾巴，尾巴越来越小，是个无穷小量）

A[n]的极限是一目了然的。

回复43#z16166
谢谢！！就当复习了 XPERIA fly ~

我的印象中，涉及到无限的运算跟一般运算是不一样的，很多楼的证明严格来说都不严谨。
有个很著名的例子，一个无限房间的旅馆，已经住满了人，又来了一批住客，怎么安排？
只要将原来房号的人住到2x房号，就会腾出一半的空房间。
iOS fly ~

真是服了，这都能扯到政治，不由的让人怀疑你回帖的动机。 iOS fly ~

高数并不能拯救撸主。


这实质上是实数理论，致密性定理，起步是数学分析理论。

换个思路：

三体里的降维打击来了，现在有两艘飞船，一艘的速度是光速的99.99.....%, 另一艘达到光速，你上那条船？

无限这个概念是一个作弊器

回复45#zengdragon
用房间来理解这个题也不错，实数相当于一个一个相邻的房间，人不可能住到墙壁里面，那么只要证明1和0.99循环这两个房间之间没有墙壁，那对于人来说这就是同一个房间。。。但对于虫子来说，墙壁没有意义，墙壁之间还可以有无数能住的空间，只不过空间数量取决于虫子的计算角度。 XPERIA fly ~