今天上班比较空，想开始看一些物理或者数学类的科普著作，选了从一到无穷大开始看
一开始还能理解，根据康托尔的一一对应法则，令人惊奇的是所有整数的数目和所有的奇数/偶数/分数的数目居然是一样的，但是后面马上就不理解了，说是不论长度，所有线段上的点数都是相同的，书上是这么写的，见图。


图中的举例线段ABAC是一个端点发出的，他这么做平行线取得一一对应的关系是可以，但是做出来的图里线段DD'/EE'也可以做相交平行线，但是DD'做平行线的话明显还差D'到E'这部分的长度啊，这怎么证明是一样的点数呢？
难道就是用在无穷大的情况下，部分可能等于整体这一概念解释？

LZ，你需要同时补下语文
“过AB的每一个点…，这样就形成了一组点”

这句话你再多读几遍


以及后面的“如D…D，…F，等” 这个等字你是不是也没注意。。

后面你接着读完吧，多读几遍。“任意…都有…一一对应…”


我只能帮你到这了。。。

楼主再组织一下语言，说实话，没看懂 -_-||

所有的点都能对应上，不就是一样多了么？别试图去理解无穷大，没人能真的理解

你这么理解一下：虽然AB的长度大于AC，但在AC上任意找一点，都可以在AB上也找到一点，让他们两点形成的连线平行于无限个也通过这样的方式行成的连线，也就是说，AC上任意一点，都能够在AB上找到一个对应的点。所以AC上的点的数量等于AB上的点的数量。

不论长度多少的线，上面都有无数个点。无数对无数可以一一对应

这个和自然数和偶数的数量是一样的是一个意思 每个自然数对应一个偶数

无穷没有“部份”。

康托发神经的 你当心别跟他去了
无穷还有大小呢有些无穷比有些无穷大

准确一点的说法，无穷集合的大小比较，如果两个无穷集的元素能一一对应，则认为这两个无穷集等势。

科普书籍把这些说法通俗化了。

阿列夫势1啊……其实要理解这个是需要一定的悟性的。

换个简单点的说法看LZ能不能领悟，如果不能的话那我建议LZ还是放弃吧，有些东西确实不太好理解：

自然数1、2、3、4、5到无穷大，如果你把其中的偶数去掉，剩下的奇数数目跟去掉之前的自然数数目是一样的，因为自然数列每个数都可以通过2X-1对应成奇数列的每个数。

这个例子比LZ的线段例子简单，不过有个问题是自然数集是阿列夫0，而线段是阿列夫1，两者有很本质的区别，但用阿列夫0做例子比阿列夫1的例子好理解些。

无穷集合的数量对比的本质是看两个无穷集合间的元素是否具有一一对应关系，只要能够构建或者证明存在一一对应关系，那么我们就可以说这两个无穷集合的“密度”是一样的。

如果LZ觉得上面已经够烧脑了，那我说几个让LZ彻底放弃看这本书的东西吧：

1、自然数集没办法跟线段里的点一一对应，而实数集才行。
2、线段的点不仅可以跟线段会直线一一对应，而且可以和平面或空间点集一一对应，也就是说，一条线段上的点集的阿列夫势跟二维和三维空间的点的阿列夫势一样大。
3、自然数集是可数的，而实数集是不可数的。


LZ如果你想了解数学的乐趣的话，我强烈建议你不要从看似简单的数论开始，那其实是数学体系里最难的部分……推荐一本更加循序渐进的书——《什么是数学》，就算数学不好，你差不多也可以看个三分之一到二分之一后才开始崩溃。

[本帖最后由 shepherdami 于 2016-2-19 16:43 编辑]

那个三角形的证错了，
每切一点，从长边切出的线段的长度，
都比在短边上切出的长。
所以得不到同样多的点。
长边上很多点被跳过去了。
只有同样长度的线段上，
才有可能切出同样多的点。
不要用加减法，
用除法的话，
不同长度线段上的点数就不一样多了。
是两根线段的长度的比。

又一个数学没学好的……

问个问题：

1、2、3、4、5、6……
2、4、6、8、10、12……

是不是后一排的个数是前一排的一半？

喷了，你们到底懂数学吗。

这段话只是告诉你两个无穷集合数目是一样的。。

重点无穷大数是相等的，没什么问题啊。

就是两个集合而已。

无穷大集合不能靠穷举的方式来比较多少，
不代表无穷大集合无法比较多少，
用除法就可以比较了。
三角形的证明并没有给出一一对应的证明，
他只证明了对于短边的每一个点，
长边都有一个点与之对应，
但是每对于短边的一个点，
长边切出来的线段长度都比短边的长。
如果用同样“步进”分别去切两条线段的话，
短边切完了，长边还有的剩。
所以长短边点数不一样多。

虽然有点反直觉，但是人家证明出来了，证明过程无懈可击，然后这结论就肯定是正确的。

证的过程太荒谬了。
如果每切一个点，
切出来的线段长度可以各不相同的话，
那可以每在长线段上切一个点，
对应着在短线段上切出一百个点。
那能证明短线段上的点的个数，
是长线段的一百倍么？

只能证明使用不同步长，
是无法证明任何事的。

麻烦先搞清楚实数集不可数的概念再讨论啊，完全是在民科自定义自证明。

或者再简单点，去看看阿基里与龟的悖论。

喷了，难不成泥潭两千万都是民科出身

我是这样理解的，点是零维的，线是一维的，一维包含零维，所以每一条一维的线上面都有无数个零维的点
同理每一个二维的面都包含无数的一维的线
每一个三维的体都包含无数的二维的面

不用那么麻烦，

命题 论据 论证方法。。

只要能用数学反驳就好， 不要用什么长度啊等语文来说。。

切线的过程，其实是体现的集合论思想，如果A线段是逐点连续不断地一一映射B线段的点的话，那么最终这两个集合是对等的，都是无穷集。

我看的时候想不通的是后面，Z集为什么和偶数集元素个数不相等那段（太久没看大概是这个命题）。

自然数的个数是可数无穷大，有理数和自然数一样多，无理数的个数是不可数无穷大，实数和无理数一样多，实数的n次方仍然和实数一样多，不可数无穷大的不可数无穷大次方仍然是不可数无穷大，不可数无穷大的无穷级数的集合比不可数无穷大还要大，这是人类已知的最大的无穷大。
具体请看数学桥这本书

我记得这类无穷大之间的比较，还要涉及一个是否可数的问题，有理数好像是可数的，忘了，以前离散数学学过，比较的时候可以通过构造的方法

看的晕乎乎的，才发现自己连代数都没学过

如果我说一维二维三维的点的“数量”是一样的你会不会崩溃？

光定义阿列夫势就够说一天，还在你坛论证……给我足够时间我也能把欧式几何完全给你证明一遍，但是太麻烦了啊，尤其是对数学基础差的，光普及基本概念就要好久。

Z集和偶数集个数是相等的啊。

是的，有理数是阿列夫0，可数，实数是阿列夫1，不可数。构造是用对角线法。

无法构造出最大无穷大的，因为任何集合的基数都小于它的幂集的基数。

这不是小学数学，算集合论。

有一个相关的笑话：据说美女就和有理数，你知道她存在，你知道她很多，你甚至随手可以写下一大堆。但是在实数里随机抽签抽到有理数的概率为——0

初中肄业论坛好好讲离婚呗，别折腾自己了

唯一跟现实不同的是，有理数集你随机抽取总能抽到一个，而现实中……不说了很多人要吃狗粮了。

楼主，你怎么开始学我了研究数学了，
说真的，数学这个东西，越深究越可怕，就如同我之前说的，如果七进制的话，10怎么读，结果出来好多说法，没有人给出一个令人信服的说法。

7进制里10进制的10是13啊。

数学里反直觉是很正常的，因为数学压根就是一游戏：定义公理，接着根据公理开始玩逻辑推理的游戏，当然公理需要自洽。两个无穷可以比较是因为定义了他们相等的含义，你要不承认相等的定义，那所谓的整数和偶数一样多当成放屁也完全没问题。

非欧几何就是不承认平行公里产生的，你要牛逼重新定义一套无穷比较的含义（逻辑自洽），证明整数比奇数多也是可能的

答非所问，我问七进制中的10怎么读，你却给我弄出个七进制里十进制的10，到底啥进制？？

一零，和二进制一样读法。

小学数学个屁 这是引发第三次数学危机的全新创造性思想 小学语文没学好倒是真的 看清楚原文 关键词一一对应 你别管什么长度之类的概念 就单单考虑每个点是否能找出一个对应的点 这样就能理解了 不能理解是因为还在用自己固有的直觉以及固执的观念

这不是代数学 代数学是数学中最一流的学科 无与伦比的华丽

果然Tg什么都能吵起来……